Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng tại thcsquynhxuan.edu.vn

Bất đẳng thức Bunhiacopsky: công thức, chứng minh và bài tập

Bất đẳng thức Bunhiacopsky là gì? Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì, hệ quả ra sao, cách chứng minh từng hệ quả và các dạng bài toán thường gặp là những phần kiến thức quan trọng, Trường THCS Quỳnh Xuân sẽ giải đáp qua bài viết dưới đây. Cái này. Bạn tìm hiểu!

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ VỀ bất phương trình BUNHIACOPXKI

1. Thế nào là bất đẳng thức Bunhiacopsky?

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Bunhiacopsky: công thức, chứng minh và bài tập

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập tìm ra và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng tôi cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, được đặt theo tên của nhà toán học người Nga Bunhiacopxki.

2. Công thức Bunhiacopxki. bất bình đẳng

+ Bất đẳng thức Bunhiacopsky ở dạng cơ bản:

$trái( {{a^2} + {b^2}} phải)trái( {{c^2} + {d^2}} phải) ge {trái( {ac + bd} phải)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{a}{c} = frac{b}{d}$

+ Bất đẳng thức Bunhiacopsky cho 2 bộ số:

Với hai bộ số $trái( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} phải)$ Và $trái( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} phải)$ Chúng ta có:

$trái( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} phải)trái( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} phải) ge {trái( {{a_1} {b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} phải)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = frac{{{a_n}}}{{{b_n}} }$

Theo quy ước, nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng không, thì nó tương ứng với số không.

3. Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopsky

Hệ quả 1:

Nếu như:

$[{a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n} = C]$

Sau đó:

$[min(x_1^2 + ... + x_n^2) = frac{C}{{a_1^2 + ... + a_n^2}}]$

Đạt được khi:

$[frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}}]$

Hệ quả 2: Nếu:

$[x_1^2 + ... + x_n^2 = {C^2}]$

Sau đó:

$[max({a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n}) = left| C right|sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} ]$

đạt được khi:

$[frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}} ge 0]$

$[min({a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n}) = - left| C right|sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} ]$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$[frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}} le 0]$

3. Nêu các dạng Bunhiacopsky. bất bình đẳng

Bất đẳng thức Bunhiacopski có các dạng sau:

Một. Hình thức cơ bản

b. dạng phân số

Trong các dạng trên, bất phương trình dạng 1, dạng 2, dạng 3 được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky dạng cơ bản và bất phương trình dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopski phân số.

c. Một số dạng đặc biệt

II. MỘT SỐ KĨ THUẬT HỌC BUNHIACOPXKI

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi

Tương tự với bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky để chứng minh bất đẳng thức ta cần bảo toàn dấu của đẳng thức xuất hiện, nghĩa là ta cần xác định điểm rơi của bài toán. phép tính khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky.

2. Kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ở dạng cơ bản

Bất đẳng thức Bunhiacopsky cơ bản là bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng (a_{Trước hết}b_{Trước hết}+a₂b₂+…+a_{PHỤ NỮ}b_{PHỤ NỮ})2 về số lượng (a2_{Trước hết}+a2₂+…+a2_{PHỤ NỮ})(b2_{Trước hết}+b2₂+…+b2_{PHỤ NỮ}) hoặc ngược lại.

3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky phân số

Bất đẳng thức Bunhiacopskii phân số là một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh các bài toán về bất đẳng thức. Nó giải một lớp bất phương trình chứa các đại lượng ở dạng phân số.

4. Kỹ thuật cộng trừ

Có những bất phương trình (hay biểu thức tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên như vậy đôi khi rất khó, thậm chí không thể giải được bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách cộng trừ các số hoặc biểu thức thích hợp, chúng ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopski dễ dàng hơn.

5. Phương thức chuyển thể ở Bunhiacopxki. bất bình đẳng

Có một số bất đẳng thức nếu cứ để nguyên như đã nêu thì khó tìm được cách chứng minh. Tuy nhiên, bằng một số phép biến đổi nhỏ ta có thể rút gọn chúng về dạng quen thuộc để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky. Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu về kĩ thuật biến đổi trong bất đẳng thức Bunhiacopsky.

Công thức kỹ thuật biến đổi

III. NHỮNG LƯU Ý KHI ĐỔI ĐẠI SỐ BUNHIACOPXKI

Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như:

Đối với một số bất đẳng thức giả thiết ta có thể biến đổi cả hai vế:

IV: CÁC LỖI THƯỜNG GẶP KHI ÁP DỤNG BUNHIACOPXKII

Cho a là số dương thỏa mãn a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=a2+1a2A=a2+1a2

Dạy bảo:

V. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BUNHIACOPXKI

Một. Bài tập có đáp án:

Bài tập 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

$sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a ) ) }}{{a + b + c}}} le sqrt 6$

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta có:

$1.sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt { frac{{c + a}}{{a + b + c}}}$

$le sqrt {trái( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} phải)trái( {frac{{a + b}}{{a + b + c}} + frac{{ b + c}}{{a + b + c}} + frac{{c + a}}{{a + b + c}}} true)}$

$Leftrightarrow sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt {3.2} = sqrt 6$ (một cái gì đó để chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = sqrt {x - 2} + sqrt {4 - x}$

Trả lời:

$A = sqrt {x - 2} + sqrt {4 - x}$

Trạng thái: $2 le x le 4$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

${bên trái[ {1.sqrt {x - 2} + 1.sqrt {4 - x} } right]^2} trái( {{1^2} + {1^2}} phải)trái( {x - 2 + 4 - x} phải) = {2^2} = 4$

$begin{array}{l} Rightarrow {A^2} le 4\ Leftrightarrow - 2 le A le 2 end{array}$

Tối đa = 2 lần $frac{1}{{sqrt {x - 2} }} = frac{1}{{sqrt {4 - x} }} Leftrightarrow x - 2 = 4 - x Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác với p là nửa chu vi thì $sqrt {p - a} + sqrt {p - b} + sqrt {p - c} le sqrt {3p}$

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

$1.sqrt {p - a} + 1.sqrt {p - b} + 1.sqrt {p - c} le sqrt {trái( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} phải)trái( {p - a + p - b + p - c} phải)}$

$Leftrightarrow sqrt {p - a} + sqrt {p - b} + sqrt {p - c} le sqrt {3left( {3p - 2p} right)} = sqrt {3p}$ (một cái gì đó để chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{1}{{p - a}} = frac{1}{{p - b}} = frac{1}{{p - c}} Leftrightarrow a = b = c$ Hay tam giác đó là tam giác đều?

b. Bài tập thêm

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

Một, $A = sqrt {6 - x} + sqrt {x + 2}$

b, $B = sqrt x + sqrt {2 - x}$

Bài tập 2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + frac{c} {{sqrt {{c^2} + {a^2}} }} frac{3}{{sqrt 2 }}$

(Gợi ý: đổi vế trái thành $sqrt {frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} + sqrt {frac{{{b^2}}}{{{b^2} + { c^2}}}} + sqrt {frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}}$ rồi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky)

Bài tập 3: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:

$sqrt {a - 1} + sqrt {b - 1} + sqrt {c - 1} le sqrt {cleft( {ab + 1} right)}$

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

$frac{1}{{{a^3}left( {b + c} phải)}} + frac{1}{{b^3}left( {c + a} phải)}} + frac{1} { {{c^3}trái( {a + b} phải)}} ge frac{3}{2}$

Bài 5: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn x2 + y2 ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y 2 + $sqrt{5}$

Như vậy là các bạn vừa tìm hiểu bất đẳng thức Bunhiacopxki: lý thuyết, chứng minh và bài tập áp dụng. Hi vọng qua bài chia sẻ các bạn đã nắm vững những kiến thức Đại số 9 quan trọng nhất này. Xem thêm bất đẳng thức Côsin tại link này!

Đăng bởi: Trường THCS Quỳnh Xuân

Bản quyền bài viết thuộc về trường Trường THCS Quỳnh Xuân. Mọi sao chép đều là gian lận! Nguồn chia sẻ: Trường THCS Quỳnh Xuân (thcsquynhxuan.edu.vn)

Bạn thấy bài viết Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng bên dưới để Trường THCS Quỳnh Xuân có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thcsquynhxuan.edu.vn của Trường THCS Quỳnh Xuân

Nhớ để nguồn bài viết này: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng của website thcsquynhxuan.edu.vn

Giáo Dục